1. 수행배경

• 수치 해석은 공학 뿐만 아니라 자연 과학, 의학 등에 나타나는 문제들 중, 수학적인 문제로 표현될 수 있는 문제들을 궁극적으로 컴퓨터를 이용하여 해결하고자 하는 수학의 실질적인 응용 분야이다. 현실에서 우리가 분석하고자 하는 물질들은 대부분 원이나 사각형과 같은 단순한 형태가 아닌 복잡한 형태로 되어있다. 그러므로, 구조물을 단순한 형태의 요소로 분할하고 유한 개의 요소들 간의 영향을 더해 전체를 해석하는 방법인 FEM(Finite Element Method)이 수치 해석의 방법으로 널리 사용되고 있다.
• 전자기 수치 해석 문제를 FEM을 이용하면 쉽게 해를 구할 수 있다. 이때, Ax=b의 해를 찾아내는 과정을 최적화 문제로 환원하여 해결하는 Conjugate Gradient Method(켤레 기울기 법)을 적용하면 더 빠르게 해를 찾아낼 수 있다.

2. 수행기간

• 2021.04 - 2021.07 Jian-ming-Jin의 Finite Element Method 교재 Chapter 2 ~ 3 내용에 대해 학습
  
• 2021.07 - 2021.08 최적화 문제에 많이 쓰이는 Conjugate Gradient(CG) 학습
• 2021.08 - 2021.09 푸아송 방정식에 관한 문제를 FEM을 적용해 매트랩으로 코딩 해 Exact Solution과 비교
  

3. 개발작품 설명

• 두 개의 무한한 평행 판 사이에 일정한 유전율∈​을 가진 유전체가 채워져 있다. 두 평행 판은 x=0, 1에 위치하고 각 위치에서의 Potential은 0, 1V이다. Charge Density가 -(x+1)∈​일 때, 두 평행 판 사이에서의 Potential이 어떻게 분포하는지 FEM 방법으로 매트랩을 통해 코딩한다.
  
• Ax=b의 해를 구하는 문제를 직접적으로 해를 구하지 않고 f(x)의 최솟값을 구하는 문제로 바꿔 최적화를 진행하는 Conjugate Gradient에 대해 학습한다.

4. 활용방안

• 컴퓨터의 발전과 함께 FEM을 이용한 해석 범위가 넓어졌다. 실제 현상을 컴퓨터 시뮬레이션으로 표현함으로써 얻을 수 있는 이점은 명확하다. 현재 대부분의 FEM 사용 패키지들은 열, 전자기, 유체 등에 대한 Solution을 가지고 있다. FEM을 통해 분석한 결과 값을 확인함으로써 제품의 요구 특성을 더 명확히 이해할 수 있으며, 이를 통해 개발 시간 단축과 생산성 향상 등을 확보할 수 있다.
• Conjugate Gradient(CG)는 최적화 문제에서 많이 쓰이는 방법으로 매우 큰 시스템의 선형 방정식을 interative 하게 푸는 방식이다. Ax=b에서 A matrix가 매우 크고 0이 많은 sparse 한 경우에 CG처럼 interative 한 방식을 사용한다. 최소 강하 법(gradient descent)은 계산 량이 아주 적지만 수렴 속도가 느리다는 단점이 있다. 켤레 방향 법은 그람-슈미트 과정에 의해 뒤로 갈수록 계산 량이 크게 늘어나고, n 번 이내 수렴을 보장하지만 미리 켤레인 탐색 방향을 구해 놓아야 한다. 두 방법의 단점을 보완한 방법이 CG(켤레 기울기 법)이다. 여러 가지 접근을 통해 오차를 최소화하면서 효율적인 알고리즘을 적용하여 계산 시간과 메모리 사용량을 줄인다.